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Statistica, Università

Riassunto distribuzione di probabilità discrete

Posted by jamesbondmauro on 19 Gennaio 2023

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Statistica

Riassunto distribuzione di probabilità continue

Bernoulli

$$ X \sim B(p) $$

Rappresenta il fallimento ($0$) o il successo ($1$) di un esito. La probabilità di successo è $p$.

$$ 0 \leq p \leq 1 $$

Il suo dominio è:

$$ D_X = \{0,1\} $$

Formule

$$
\begin{aligned}
p_X(x) &\ = \ \displaystyle p^x(1-p)^{1-x}I_{\{0,1\}}(x)\\[.5em]
F_X(x) &\ = \ \displaystyle (1-p)I_{[0,1)}(x)+I_{(1,+\infty)}(x)\\[.5em]
\mathcal{E}(x)&\ = \ p\\[.5em]
Var(X) &\ = \ p(1-p)
\end{aligned}
$$

Binomiale

$$ X \sim B(n,p) $$ Rappresenta il numero di successi su $n$ esperimenti Bernoulliani di parametro $p$. $$ n \geq 0 $$ Il suo dominio è: $$ D_X = \{ 0,\dots,n \} $$

Formule

$$ \begin{aligned} p_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}I_{\{0,\dots,n\}}(x) \\[.5em] F_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor}\binom{n}{x}p^i(1-p)^{n-i}I_{[0,n]}(x)+I_{(n,+\infty)}(x) \\[1em] \mathcal{E}(x)\quad & \ = \ np \\[1em] Var(X) \quad & \ = \ np(1-p) \end{aligned} $$

Riproducibilità

$$ X \sim B(n,p) \qquad \qquad Y\sim B(m,p) $$

$$ X+Y \sim B(n+m,p) $$

Approssimazione a Poisson

Con $n$ grandi e $p$ piccole la binomiale approssima ($\dot{\sim}$) la distribuzione di Poisson:

$$ X \sim B(n,p) \ \dot{\sim} \ P(np)  $$

Uniforme discreto

$$ X \sim U(n) $$ Rappresenta l’esito di un esperimento che ha $n$ possibili esiti equiprobabili. $$ n>0 $$ Il suo dominio è: $$ D_X = \{ 0,\dots,n \} $$

Formule

$$ \begin{aligned} p_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle \frac{1}{n}I_{\{1,\dots,n\}}(x) \\[.5em] F_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle \frac{\lfloor x \rfloor}{n}I_{[0,n)}(x)+I_{[n,+\infty)}(x) \\[.5em] \mathcal{E}(x)\quad & \ = \ \displaystyle\frac{n+1}{2} \\[.5em] Var(X) \quad & \ = \ \displaystyle\frac{n^2-1}{12} \end{aligned} $$

Geometrico

$$ X \sim G(p) $$

Rappresenta il numero di insuccessi necessari affinchè si verifichi il primo successo in una sequenza di esperimenti Beroulliani di parametro $p$.

Il suo dominio è:
$$ D_X = \mathbb{N} $$

Formule

$$ \begin{aligned} p_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle p(1-p)^xI_{\mathbb{N} \cup \{0\}}(x) \\[.5em] F_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle (1-(1-p)^{\lfloor x \rfloor + 1})I_{\mathbb{R}^+}(x) \\[.5em] \mathcal{E}(x)\quad & \ = \ \displaystyle\frac{1-p}{p} \\[.5em] Var(X) \quad & \ = \ \displaystyle\frac{1-p}{p^2} \end{aligned} $$

Assenza di memoria

$$ P(X \geq i+j \ | \ x \geq i) = P(X \geq j) $$

Ipergeometrico

$$ X \sim \mathcal{H}(h,n,r) $$

Rappresenta il numero di palline vincenti estratte dopo $r$ estrazioni senza reimmissione, da un’urna contenente $n$ palline di cui $h$ vincenti.

Formule

$$ \begin{aligned} p_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle \frac{\binom{h}{k}\binom{n-h}{r-k}}{\binom{n}{r}} \\[.5em] \mathcal{E}(x)\quad & \ = \ \displaystyle \frac{rh}{n} \\[.5em] Var(X) \quad & \ = \ \displaystyle \frac{r(n-r)h(n-h)}{n^2(n-1)} \end{aligned} $$

Poisson

$$ X \sim P(\lambda) $$

Rappresenta il numero di eventi che si verificano in un dato intervallo di tempo sapendo che mediamente se ne verifano $\lambda$.

Il suo dominio è:
$$ D_X = \mathbb{N} \cup \{0\} $$

Formule

$$ \begin{aligned} p_X(x)\quad & \ = \ \displaystyle e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}I_{\mathbb{N}\cup\{0\}}(x) \\ \mathcal{E}(x)\quad & \ = \ \lambda \\[.5em] Var(X) \quad & \ = \ \lambda \end{aligned} $$

Riproducibilità

$$ X \sim P(\lambda_1) \qquad \qquad Y\sim P(\lambda_2) $$

$$ X+Y \sim P(\lambda_1+\lambda_2) $$

jamesbondmauro

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